인수분해 완전 가이드: 개념, 공식, 풀이 전략, 연습문제
이 포스트는 수업·과제에 바로 붙여넣어 사용할 수 있는 무스크립트·무의존 HTML 교재입니다. 모든 수식은 정적 인라인 SVG로 제공되어 어떤 환경에서도 동일하게 표시됩니다.
학습 목표
- 다항식의 인수와 인수분해의 의미를 이해한다.
- 자주 쓰는 공식(정사각 공식, 차의 제곱, 완전제곱식, 세제곱 공식 등)을 기억하고 적용한다.
- 공통인수, 묶음, 삼항식, 계수 a≠1인 이차식, 차·합의 제곱·세제곱 등 전략 선택 순서를 익힌다.
- 실전 문제를 단계적으로 풀이하고, 스스로 점검하는 체크리스트를 사용한다.
1) 인수와 인수분해
인수는 곱을 이루는 구성요소, 인수분해는 다항식을 곱의 형태로 나타내는 과정입니다. 분배법칙을 거꾸로 적용한다고 이해하면 쉽습니다.
2) 반드시 알아야 할 인수분해 공식
| 유형 | 공식 (정적 SVG) | 메모 |
|---|---|---|
| 정사각 공식 ① | a와 b의 부호가 모두 플러스일 때. | |
| 정사각 공식 ② | 가운데 항의 부호는 음수 2ab. | |
| 차의 제곱 | 가장 자주 쓰는 패턴. 중간항 없음. | |
| 세제곱의 합 | 부호: + → ( + )( − + ). | |
| 세제곱의 차 | 부호: − → ( − )( + + ). | |
| 완전제곱식 인식 | 양 끝이 제곱, 가운데는 두 배의 곱. |
3) 인수분해 풀이 전략 — 어떤 순서로 볼까?
- 공통인수를 먼저 뽑아 단순화한다.
- 항이 4개면 묶어서 인수분해를 시도한다.
- 이차 삼항식이면 계수에 따라
- 계수 1: x² + bx + c → 두 수 m, n을 찾아 (x + m)(x + n)
- 계수 a≠1: AC방법(곱 ac, 합 b) → 분해 후 묶음
- 특수형인지 확인: a²−b², a³±b³, 완전제곱식.
- 남으면 더 이상 인수분해 불가인지 점검(정수 범위/유리수 범위 등).
4) 유형별 예제
① 공통인수
문제 6x²y − 9xy²
공통인수: 3xy = 3xy(2x − 3y)
② 묶어서 인수분해
문제 ax + ay + bx + by
=(ax + ay) + (bx + by) =a(x + y) + b(x + y) =(a + b)(x + y)
③ 삼항식 (계수 1)
문제 x² + 7x + 12
곱 12, 합 7 → (3, 4) = (x + 3)(x + 4)
④ 삼항식 (a ≠ 1, AC법)
문제 6x² + 11x + 3
ac = 18, 합 11 → (2, 9) = 6x² + 2x + 9x + 3 = 2x(3x + 1) + 3(3x + 1) = (3x + 1)(2x + 3)
⑤ 차의 제곱
문제 9a² − 25b²
=(3a)² − (5b)² = (3a − 5b)(3a + 5b)
⑥ 세제곱 공식
문제 x³ − 8
8 = 2³ = x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 2)
⑦ 완전제곱식 인식
문제 y² − 12y + 36
끝: y², 36(=6²), 가운데: −2·y·6 = (y − 6)²
⑧ 혼합형
문제 4x² − 1 − 6x
정렬: 4x² − 6x − 1 ac = −4, 합 −6 → (−8, 2) = 4x² − 8x + 2x − 1 = 4x(x − 2) + 1(2x − 1) ← (실패) 공통 괄호 다름 재시도: 4x² − 8x + 2x − 1 = 2x(2x − 4) + 1(2x − 1) → 여전히 다름 다른 쌍 시도: (−4, −1) 합 −5 (불일치) 정답 경로: 근을 이용해 검증하거나, 완성제곱/이차방정식으로 확인. ※ 정수 인수분해는 불가. (유리수 범위에서는 (2x − 1 − √2)(2x − 1 + √2))
5) 시각 요약 — 핵심 공식 모음 (SVG)
6) 자주 하는 실수 체크리스트
- 공통인수를 최대로 뽑지 않음 (계수·문자 모두 확인).
- (a + b)²를 a² + b²로 착각.
- 차의 제곱 a² − b²만 있고 합의 제곱은 없음에 주의.
- 세제곱 공식의 중괄호 부호 패턴 혼동: + → (+)(−+), − → (−)(++).
- 계수 a≠1에서 AC법 후 묶을 때 정확히 같은 괄호가 나와야 함.
- 최종 답에 순서·부호·계수 1 생략 규칙(1x → x)을 정리하지 않아 오답 처리.
7) 연습문제
| # | 문제 | 힌트 |
|---|---|---|
| 1 | 12x³y − 18x²y² | 공통인수 최대 |
| 2 | m² − 49 | 차의 제곱 |
| 3 | x² + 9x + 14 | 곱 14, 합 9 |
| 4 | 2p² + 7p + 3 | AC법 |
| 5 | y² − 10y + 25 | 완전제곱식 |
| 6 | 27a³ + 8 | 세제곱의 합 |
| 7 | 4x² − 12xy + 9y² | (2x − 3y)²? |
| 8 | 3x² − 48 | 공통인수 → 차의 제곱 |
| 9 | ax − ay − bx + by | 묶어서 |
| 10 | 6t² − 7t − 3 | AC법, 부호 주의 |
| 11 | 9u² − v² | 차의 제곱(스케일) |
| 12 | 2x³ − 18x | 공통인수 → 차의 제곱 |
| 13 | k² + 4k + 4 | 완전제곱식 |
| 14 | x⁴ − 16 | 2번 차의 제곱 |
| 15 | 8y³ − 1 | 세제곱의 차 |
| 16 | 5x² + 13x + 8 | AC법 |
| 17 | 4a²b − 6ab² | 공통인수 |
| 18 | x² − 2xy − 63y² | 곱 −63, 합 −2 |
| 19 | 3p²q − 12pq² + 12q³ | 공통인수 → 묶음 |
| 20 | 9x² + 12x + 4 | 완전제곱식 |
8) 연습문제 정답
- 6x²y(2x − 3y)
- (m − 7)(m + 7)
- (x + 2)(x + 7)
- (2p + 1)(p + 3)
- (y − 5)²
- (3a + 2)(9a² − 6a + 4)
- (2x − 3y)²
- 3(x² − 16) = 3(x − 4)(x + 4)
- (a − b)(x − y)
- (3t + 1)(2t − 3)
- (3u − v)(3u + v)
- 2x(x² − 9) = 2x(x − 3)(x + 3)
- (k + 2)²
- (x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4)
- (2y − 1)(4y² + 2y + 1)
- (5x + 8)(x + 1)
- 2ab(2a − 3b)
- (x − 9y)(x + 7y)
- 3q( p² − 4pq + 4q² ) = 3q(p − 2q)²
- (3x + 2)²
※ 14번의 (x² + 4)는 실수 범위에서 더 이상 인수분해되지 않습니다(복소수 허용 시 (x − 2i)(x + 2i)).
9) 스스로 채점 루틴
- 최대 공통인수(GCF)를 뽑았는가?
- 괄호가 정확히 동일하게 묶였는가? (묶음)
- 이차 삼항식에서 곱 ac, 합 b를 올바르게 찾았는가?
- 특수형(차의 제곱, 세제곱, 완전제곱식)을 놓치지 않았는가?
- 전개 검산: 임의의 값 대입 혹은 간단 전개로 확인했는가?
- 계수 1 생략, 항 정렬(내림차순), 부호 정리까지 완료했는가?
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